压缩算法通常用于数据存储和传输，通过识别重复模式降低信息冗余。数学定理证明领域同样存在模式化结构，压缩思想在此焕发独特价值。组合数学中的对称性计算常出现重复枚举，例如多面体顶点在旋转群作用下的轨道计数。利用群论对旋转操作进行压缩表示，原本需要逐一验证的排列组合转化为简洁的代数表达式。这种处理方式类似于哈夫曼编码的原理，将高频出现的操作赋予短符号，大幅简化证明过程。
信息论中的柯尔莫哥洛夫复杂度理论深刻揭示数学对象的本质属性。该理论将对象复杂性定义为生成它的最短程序长度，本质上是用算法压缩描述信息。在数论领域，质数分布的随机性分析曾长期困扰数学家。柯尔莫哥洛夫复杂度证明绝大多数数字序列具有不可压缩性，为质数定理的统计特性提供全新解释路径。20世纪60年代所罗门诺夫与柯尔莫哥洛夫共同奠基的算法信息论，使数学证明开始系统性地引入压缩思想。
图论中的树分解技术将复杂图结构压缩为树状层次。四色定理的计算机证明过程中，肯普链的归约策略本质是图结构压缩。通过识别平面图中的可收缩边，将无穷尽的具体案例压缩为有限可验证结构。现代图同构研究中，威斯康星学派开发的Babai算法对对称群进行信息压缩，将指数级搜索空间降为拟多项式规模。这种压缩式证明在保持严谨性的同时突破计算壁垒。
计算复杂性理论中的多项式归约暗含压缩逻辑。旅行商问题处理带对称性的城市分布时，压缩旋转对称性能削减90%计算量。NP完全问题库中的SAT求解器采用子句消去算法，其核心是通过子句模式识别实现逻辑压缩。这种压缩思想催生出冲突驱动子句学习技术，使自动化证明效率提升数个数量级。
数学知识体系的建构同样遵循压缩法则。《几何原本》用五大公理推导数百定理，公理系统本质上是对几何知识的无损压缩。现代数学教材中的引理网络体系，实则是将重复证明步骤压缩为可复用模块。范畴论提出的泛性质概念，更是将不同数学结构的共性进行高阶压缩抽象。
密码学中的零知识证明将压缩算法推向新高度。zk-SNARK协议通过多项式承诺压缩验证过程，使区块链交易验证从GB级降至KB级。这种技术源于组合数学中的交互式证明系统，将复杂计算压缩为可验证的简洁证据。日本学者提出的同态加密压缩方案，正在重塑数学定理的分布式验证范式。
算法信息论的最新进展显示，停机概率Ω的不可压缩性反证了数学系统的完备性。这种基于压缩极限的元数学研究，正在重新定义人类对数学真理的认知边界。当计算机辅助证明日益普及，压缩算法将继续推动数学证明向更高效更深刻的方向演进。